miércoles, 4 de mayo de 2011

Gauss-Seidel


Introduccion:
Este método es iterativo o de aproximación y es similar a las técnicas que se usan en los métodos anteriores para obtener raíces. Aquellos métodos consisten en la determinación de un valor inicial a  partir del cual, mediante una técnica sistemática  se obtiene una mejor aproximación a la raíz.
La razón por la cual los métodos iterativos son útiles en la disminución de los errores de redondeo en sistemas, se debe a que un método de aproximación se puede continuar hasta que converja dentro de alguna tolerancia de error previamente especificada.
Las técnicas iterativas se emplean rara vez para resolver problemas de dimensiones pequeñas ya que el tiempo requerido para lograr una precisión suficiente excede a las técnicas directas. Sin embargo, para sistemas grandes con un gran porcentaje de ceros, ésta técnica es eficiente. 
Los sistemas de este tipo surgen frecuentemente en la solución numérica de problemas de valores frontera y de ecuaciones diferenciales parciales.


Historia:
  
Es una técnica utilizada para resolver sistemas de ecuaciones lineales. El método es llamado de esa manera en honor a los matemáticos alemanes Carl Friedrich Gauss y Philipp Ludwig von Seidel. El método es similar al método de Jacobi. Es un método indirecto, lo que significa que se parte de una aproximación inicial y se repite el proceso hasta llegar a una solución con un margen de error tan pequeño como se quiera.

El método de Gauss-Seidel converge a la solución del sistema si se cumple la condición de que la matriz de coeficientes del sistema sea una matriz diagonalmente dominante, es decir, si se cumple la siguiente condición:

La condición de ser una matriz diagonalmente dominante simplemente significa que los elementos de la diagonal son mayores (en valor absoluto) que la suma de los valores absolutos de los demás elementos del mismo renglón.


Sin embargo, la condición de la matriz diagonalmente dominante, solamente es una condición suficiente pero no necesaria, es decir, existen sistemas de ecuaciones que no cumplen con la condición y que sí convergen a la solución y también existen sistemas de ecuaciones que no cumplen con la condición y que no convergen a la solución.

Finalmente, aunque un sistema no cumpla con la condición de ser diagonalmente dominante, es posible a veces, lograr que sí se cumpla con esta condición mediante un intercambio de renglones.

En que consiste?

Es un método iterativo, lo que significa que se parte de una aproximación inicial y se repite el proceso hasta llegar a una solución con un margen de error tan pequeño como se quiera. Buscamos la solución a un sistema de ecuaciones lineales, en notación matricial:    


El método de iteración Gauss-Seidel es:    
Donde:
A=N-P  definimos
M=N-1P
Y
c=N-1b
donde los coeficientes de la matriz N se definen como nij = aij si , nij = 0 sino.


Considerando el sistema Ax=b, con la condición de que        i= 1, ..., n. Entonces podemos escribir la fórmula de iteración del método
   


La diferencia entre este método y el de Jacobi es que, en este último, las mejoras a las aproximaciones no se utilizan hasta completar las iteraciones.
El método de Gauss-Seidel proporciona una solución más rápida que Jacobi ya que usa valores recién calculados en la solución de las incógnitas a calcular.


Algoritmo:

¥   Se debe despejar de cada ecuación la variable sobre la diagonal principal.
¥   Dar un valor inicial a las incógnitas (generalmente se establecen ceros).
¥    Sustituir los valores iniciales en la primera ecuación para obtener un nuevo valor para la primera incógnita.
¥    Ese nuevo valor es usado para obtener el valor de la siguiente  incógnita. Este procedimiento se repite hasta obtener los nuevos valores de todas las incógnitas despejadas.
¥    Se evalúa la aproximación relativa de todas las incógnitas hasta que la solución converja bastante cerca de la solución real, según la tolerancia establecida para el método.
¥ La iteración de Gauss-Seidel se define al tomar Q como la parte triangular inferior de A incluyendo los elementos de la diagonal  



¥   Si, como en el caso anterior, definimos la matriz R=A-Q

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